Дискретная случайная величина

Дискретная случайная величина принимает в результате испытания различные значения, которые можно записать в виде последовательности.

Закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей значения с вероятностями p1, p2,…, pn, представим в виде таблицы:

Причем должно быть выполнено условие p1+p2+…+pn=1, называемое условием нормировки.

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называют число M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn, где xi – всевозможные значения случайной величины , pi – вероятности, соответствующие значениям xi.

Дисперсией дискретной случайной величины X называют число

D(X) = –M(X))2 pi,

где xi – всевозможные значения случайной величины X, pi – вероятности, соответствующие значениям xi, M(X) – математическое ожидание случайной величины X. Для дискретной случайной величины справедливо равенство:

D(X) =x12p1+x22p2+…+xn 2pn–( M(X))2.

Пусть проводится n независимых испытаний. Вероятность осуществления события A в одном испытании постоянна и равна p. Дискретная случайная величина X – число испытаний, в которых произошло событие A имеет биномиальное распределение. Это распределение вида

Вероятности pi вычисляют по формуле pi= pi(1–p)n-i (i=0,1,…,n). Математическое ожидание M(X) числа появлений события A в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M(X)=np. Дисперсия D(X) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании: D(X)=np(1–p).

Пример 1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

0 1 2
0,3 0,5 ?

Найдите: 1) вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное двум; 2) математическое ожидание и дисперсию X.

Решение. Неизвестную вероятность P(X=2) вычисляют по формуле:

P(X=2)=1–P(X=0) –P(X=1)=1–0,3–0,5=0,2

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны:

M(X)=0∙0,3+1∙0,5+2∙0,2=0,9; D(X)=02∙0,3+12∙0,5+22∙0,2–(0,9)2=0,49.

Ответ: 0,2; 0,9; 0,49.

Пример 2. Независимые дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределений:

0,3 0,7 0,6 0,4

Найдите закон распределения случайной величины Z= X +Y.

Решение. Случайная величина Z=X +Y принимает следующие значения:

z1=x1+y1=1+2=3; z2=x1+y2=1+4=5; z3=x2+y1=3+2=5; z4=x2+y2=3+4=7

с вероятностями:

P(Z=3)=P(X=1)P(Y=2)=0,3∙0,6=0,18;

P(Z=5)=P(X=1)P(Y=4)+ P(X=3)P(Y=2)=0,3∙0,4+0,7∙0,6=0,54;

P(Z=7)=P(X=3)P(Y=4)=0,7∙0,4=0,28.

Закон распределения случайной величины имеет вид

3 5 7
0,18 0,54 0,28

Ответ:

3 5 7

Упражнения.

7.5.1. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10, 11 студентов. Составьте закон распределения случайной величины , определяемой как число студентов в наугад выбранной группе. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

12
0,2 0,1 0,3 0,2 0,2

10,1; 1,89.

7.5.2. Имеется двадцать коробок с яблоками, причем количество яблок в них: 10, 9, 11, 10, 12, 8, 11, 9, 10, 10, 11, 8, 9, 10, 9, 11, 12, 10, 9, 11 штук. Составьте закон распределения случайной величины X, определяемой как количество яблок в произвольно выбранной коробке, и найдите математическое ожидание и дисперсию этой величины. Ответ:

12
0,1 0,25 0,3 0,25 0,1

10; 1,3.

7.5.3. Бросают две правильные игральные кости. Случайная величина X –максимальное из двух выпавших очков Найдите математическое ожидание и дисперсию X. Ответ: 4,472; 19,39.

7.5.4. Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,5; второго – 0,4. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий в мишень. Ответ: 0,9; 0,49.

7.5.5. Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают два шара (без возвращения). Найдите математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров. Ответ: 0,8; 0,36.

7.5.6. Вероятность попадания в мишень при каждом из трех выстрелов равна 1/3. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий. Ответ: 1; 2/3.

7.5.7. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выпадения герба при десяти независимых бросаниях монеты. Ответ: 5; 2,5.

7.5.8. Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по каждому равна 0,3. Ответ: 6.

7.5.9. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в партии из пяти тысяч изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02. Ответ: 100; 98.

7.5.10. Имеются 4 лампы, каждая из которых с вероятностью 1/3 имеет дефект. При ввинчивании в патрон дефектные лампы сразу перегорают, и тогда ввинчивается следующая. Случайная величина X – число ввинченных ламп. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Ответ:

4
2/3 2/9 2/27 1/27

40/27; 452/729

7.5.11. Найдите закон распределения случайной величины X, которая может принимать только два значения: x1 с вероятностью 0,3 и x2, если известно, что x1
6
0,3 0,7

7.5.12. Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: x1=1, x2=2, x3=3, а также известны M(X)=2,3 и M(X2)=5,9. Найдите закон распределения случайной величины X. Ответ:

3
0,2 0,3 0,5

7.5.13. Заданы законы распределения независимых случайных величин X и Y:

0,2 ? 0,4 ? 0,4 0,5

Найдите P(X=2), P(Y=0), M(X+Y), M(X–Y), D(X+Y), D(X–Y), M(XY).

Ответ: 0,4; 0,1; 5,2; –0,4; 4; 4; 6,72.

7.5.14. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y:

0,1 0,5 ? 0,3 ?

Найдите P(X=20) и P(Y=20), закон распределения X+Y, проверьте свойство

M(X+Y)=M(X)+M(Y). Ответ: 0,4; 0,7;

40
0,03 0,22 0,47 0,28

7.5.15. Случайная величина X задана законом распределения

-1 0
0,4 0,6

Случайная величина Y представляет собой число появлений события A с постоянной вероятностью p=0,6 в двух независимых испытаниях. Составьте закон распределения разности X–Y и проверьте свойство дисперсии D(X–Y)=D(X)+D(Y). Ответ:

-3 -2 -1 0
0,144 0,408 0,352 0,096

7.5.16. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределений

-2
0,3 0,4 0,3 0,5 0,5

Составьте закон распределения случайной величины Z=2X–Y и проверьте свойство D(2X–Y)=4D(X)+D(Y).

Ответ:

-6 -5 -2 -1 3
0,15 0,15 0,2 0,2 0,15 0,15

7.5.17. Продаются саженцы трех сортов. Вероятность того, что приживется саженец первого сорта, равна 0,75; второго – 0,7; третьего – 0,6. Садовод купил три саженца различных сортов. Составить закон распределения числа прижившихся у него саженцев.

7.5.18. В бригаде имеется четыре трактора. Вероятность выхода в поле каждого из них каждый день одинакова и равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины – числа тракторов, которые выйдут в поле в произвольно выбранный день.

7.5.19. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,3. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом из четырех посаженных. Найти функцию распределения и построить ее график.

7.5.20. Доярка обслуживает три доильных аппарата. Вероятность того, что в течении дойки первый аппарат не потребует ее внимания, равна 0,1; второй – 0,2; третий – 0,3. Составить закон распределения числа доильных аппаратов, которые потребуют внимания рабочего в течении часа.

7.5.21. Вероятность повреждения упаковки при перевозке изделия равна 0,2. Составить закон распределения числа изделий с поврежденной упаковкой среди взятых наудачу четырех. Найти функцию распределения этой случайной величины и пользуясь ею, найти вероятность того, что изделий с поврежденной упаковкой будет не меньше одного, но меньше трех.


7240993061726667.html
7241040300659352.html
    PR.RU™